Pénalité au rugby - Solution 3

1. \(f(40)=-0{,}00875\times 40^2+0{,}4375\times 40=3{,}5\) donc le ballon sera à une hauteur de \(3{,}5\) m lorsqu'il aura parcouru une distance horizontale de 40 m et \(3,5>4\) donc la joueuse a réussi la pénalité.

2. Le ballon retombe au sol lorsque sa hauteur est égale à 0 m donc on résout l'équation \(f(x)=0\) .

\(f(x)=0\)

\(\iff -0{,}00875x^2+0{,}4375x = 0\)

\(\iff x(-0{,}00875x+0{,}4375)=0\)

\(\iff x=0 \text{ ou } -0{,}00875x+0{,}4375=0\)

\(\iff x=0 \text{ ou }-0{,}00875x=-0{,}4375\)

\(\iff x=0 \text{ ou } x=\dfrac{-0{,}4375}{-0{,}00875}=50\)

Le ballon retombe donc à 50 m de l'emplacement du tir, soit 10 m derrière la ligne de but .

3. La fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \([0~;50]\) et, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;50]\) , on a :

\(f'(x)=-0{,}00875 \times 2x+0{,}4375=-0{,}0175x+0{,}4375\)

\(-0{,}0175x+0{,}4375=0 \iff -0{,}0175x=-0{,}4375 \iff x=\dfrac{-0{,}4375}{-0{,}0175}=25\) et le coefficient de \(x\) est négatif. On en déduit donc le tableau suivant.

\(f(25) \approx 5{,}47\) (valeur arrondie au centième) donc le ballon s'est élevé à une hauteur maximale d'environ 5,47 m .